Yangmembedakannya yaitu hasil perkaliannya menghasilkan vektor dengan ukuran vektor yang diperpanjang sebanyak k kali dari panjang semua. Berikut merupakan beberapa macam hasil perkalian skalar k dan vektor u. Perkalian ku. Jika k > 0, maka vektor hasil searah dengan vektor u. Jika k < 0, maka vektor hasil berlawanan arah dengan vektor u. Jika
Misalnya pada gambar di atas, vektor terdiri dari tiga titik koordinat, yaitu x = 3, y = 4, dan z = 1, sehingga: Panjang vektor dalam ruang juga dapat ditentukan dengan cara yang sama, yaitu: Contoh: Diketahui vektor , tentukan ! Pembahasan: satuan panjang. Oke, materi mengenai konsep dasar vektor cukup sampai sini, nih. Untuk pembahasan
1- 10 Contoh Soal Vektor dan Jawaban. 1. Perhatikan gambar berikut! Tiga buah gaya F1, F2, dan F3 memiliki arah dan besar seperti pada gambar berikut ini. Tuliskan hubungan yang benar untuk tiga vektor gaya tersebut!
Setelahdiperoleh data latih dan data uji dalam kondisi data yang seimbang untuk masing-masing kelasnya (kelas gizi lebih, gizi baik, gizi rentan, dan gizi
tentukanvektor yang sama dari vektor-vektor berikut !Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menun
besaranvektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah soal vektor 2 2. Besaran-besaran berikut yang dipengaruhi arahnya adalah . a. massa d. jarak b. waktu e. kecepatan c. usaha jawab: E kecepatan adalah besaran vektor soal 3 tentang melukis vektor 3. Seseorang menarik meja ke arah barat dengan gaya 60 N. Jika 1 cm mewakili gaya 15 N
dEKtq. - Bagaimana cara menentukan resultan dan selisih suatu vektor? Berikut telah dirangkum dan dibahas dengan mudah sebagai berikut Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60Β°. Besar kedua vektor tersebut sama yakni 5 satuan. Tentukanlah resultan dan selisih kedua vektor! DiketahuiSudut yang dibentuk dari dua vektor ΞΈ = 60Β°Besar vektor F1 = 5Besar vektor F2 = 5 Ditanyakan Resultan F1+F2 dan selisih kedua vektor F1-F2Baca juga Contoh Soal Menghitung Resultan Vektor Penyelesaian Resultan vektor F1+F2 = β[F1Β² + F2Β² + 2F1F2 cosΞΈ]F1+F2 = β[5Β² + 5Β² + 255 cos60]F1+F2 = β[25 + 25 + 501/2]F1+F2 = β[50+ 25]F1+F2 = β75F1+F2 = 5β3 Selisih vektor F1-F2 = β[F1Β² + F2Β² - 2F1F2 cosΞΈ]F1-F2 = β[5Β² + 5Β² - 255 cos60]F1-F2 = β[25 + 25 - 501/2]F1-F2 = β[50- 25]F1-F2 = β25F1-F2 = 5 Sumber Fauziyyah] Editor [Rigel Raimarda] Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Mari bergabung di Grup Telegram " News Update", caranya klik link kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.
Subscribe!Klik di sini untuk berlangganan artikel melalui Telegram. Merentang ruang vektor, adalah syarat bagi himpunan bebas linear untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut merentang? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut. Definisi Merentang Definisi Misalkan adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor dan adalah himpunan yang memuat semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor dalam . Maka disebut subruang dari yang direntang oleh . Dengan kata lain, himpunan merentang . Subruang ini dituliskan dengan notasi Berdasarkan definisi, himpunan dikatakan merentang ruang vektor , jika Dengan kata lain, setiap vektor dalam dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam . Dua himpunan yang berbeda dapat merentang subruang yang sama. Hal ini termuat dalam teorema berikut. Teorema 1 Misalkan dan adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor . Maka jika dan hanya jika setiap vektor dalam dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam , begitupun sebaliknya. Soal dan PembahasanNomor 1Misalkan adalah ruang vektor, dan himpunan merentang . Jika , maka buktikan bahwa himpunan juga merentang .PembahasanMisalkan $\textbf{q} \in V$. Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\textbf{q} = k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ Persamaan ini dapat ditulis sebagai $$\textbf{q} = 0\textbf{w} + k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{w},\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$. Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. 2Misalkan adalah ruang vektor dan himpunan merentang . Jika adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, maka buktikan bahwa himpunan juga merentang .PembahasanMisalkan $\textbf{q} \in V$ dan $\textbf{u}_1$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam $S$, yaitu $$\textbf{u}_1=l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $l_2,l_3,\ldots,l_n$. Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{q} &= k_1\textcolor{blue}{\textbf{u}_1}+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= k_1\textcolor{blue}{l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n}+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= k_1l_2+k_2\textbf{u}_2+k_1l_3+k_3\textbf{u}_3+\ldots+k_1l_n+k_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$. Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. 3Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Buktikan bahwa adalah subruang .PembahasanHimpunan $V$ bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar, sehingga $\text{span}S$ adalah subset dari $V$. Selain itu, vektor nol adalah kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$, sehingga $\text{span}S$ bukan himpunan kosong. Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{v},\textbf{w} \in \text{span}S$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{v} &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n \\ \textbf{w} &= m_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Untuk membuktikan $\text{span}S$ subruang dari $V$, perlu ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}S$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n+km_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n \\ &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n+km_1\textbf{u}_1+km_2\textbf{u}_2+\ldots+km_n\textbf{u}_n \\ &= l_1+km_1\textbf{u}_1+l_2+km_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n+km_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Akibatnya $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}S$. Dengan demikian, $\text{span}S$ adalah subruang vektor dari $V$. 4Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Buktikan bahwa .PembahasanMisalkan $\textbf{u}_r \in S$. Untuk membuktikan $S \subseteq \text{span}S$, perlu ditunjukkan $\textbf{u}_r \in \text{span}S$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}_r = 0\textbf{u}_1+0\textbf{u}_2+\ldots+1\textbf{u}_r+\ldots+0\textbf{u}_n$$ sehingga $\textbf{u}_r \in \text{span}S$. Dengan demikian, $S \subseteq \text{span}S$. 5Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Jika adalah subruang yang memuat , maka buktikan bahwa .PembahasanMisalkan $\textbf{t} \in \text{span}S$, sehingga $$\textbf{t}=k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$. Diketahui $S \subseteq W$, sehingga $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n \in W$. Karena $W$ subgrup, maka aksioma 1 dan 6 berlaku, sehingga $$k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n = \textbf{t} \in W$$ Dengan demikian, $\text{span}S \subseteq W$. 6Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w} &= a_1,a_2,a_3 \\ &= a_1,0,0+0,a_2,0+0,0,a_3 \\ &= a_11,0,0+a_20,1,0+a_30,0,1 \\ &= a_1 \textbf{u}_1+a_2 \textbf{u}_2 + a_3 \textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 7Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p2,2,2 + q0,0,3 + r0,1,1 \\ &= 2p,2p,2p + 0,0,3q + 0,r,r \\ &= 2p,2p+r,2p+3q+r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\\&&\\& \=\ &a \\ 2p&\\&&\+\&r \=\ &b \\ 2p&\+\&3q&\+\&r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Dari persamaan pertama diperoleh $p=a/2$. Substitusi nilai $p$ pada persamaan kedua, untuk memperoleh nilai $r=b-a$. Terakhir, substitusi nilai $p$ dan $r$ pada persamaan ketiga, untuk memperoleh nilai $q=c-b/3$. Jadi, sistem persamaan di atas mempunyai solusi $$p=\frac{a}{2}, \ q=\frac{c-b}{3}, \ r=b-a$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 8Misalkan dengan Gunakan Teorema 1 untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang .PembahasanMisalkan $W=\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3\}$ dengan $$\textbf{e}_1=1,0,0,\\textbf{e}_2=0,1,0,\\textbf{e}_3=0,0,1$$ Kita tahu bahwa himpunan $W$ merentang $\mathbb{R}^3$. Karena $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3 \in \mathbb{R}^3$, maka ketiganya dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $W$. Berikutnya, tinggal ditunjukkan bahwa $\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{e}_3 &= \frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_2 &= \textbf{u}_3-\frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_1 &= \frac{1}{2} \textbf{u}_1-\textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Berdasarkan Teorema 1, diperoleh $$\text{span}S=\text{span}W=\mathbb{R}^3$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$. 9Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p1,1,1 + q1,2,3 + r1,5,8 \\ &= p+q+r,p+2q+5r,p+3q+8r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\+\&q&\+\&r \=\ &a \\ p&\+\&2q&\+\&5r \=\ &b \\ p&\+\&3q&\+\&8r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&5\\1&3&8\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=-1\neq0$ periksa!, maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 10Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p2,-1,3 + q4,1,2 + r8,-1,8 \\ &= 2p+4q+8r,-p+q-r,3p+2q+8r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\+\&4q&\+\&8r \=\ &a \\ -p&\+\&q&\-\&r \=\ &b \\ 3p&\+\&2q&\+\&8r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}2&4&8\\-1&1&-1\\3&2&8\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=0$ periksa!, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan $S$ tidak merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 11Misalkan Tentukan syarat yang harus dipenuhi oleh sehingga berada dalam .PembahasanMisalkan $\textbf{w} = a,b,c \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, sehingga terdapat skalar $p,q,r$ yang memenuhi $$\begin{aligned} \textbf{w} &= p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3 \\ a,b,c &= p1,2,0 + q-1,1,2 + r3,0,-4 \\ &= p-q+3r,2p+q,2q-4r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\-\&q&\+\&3r \=\ &a \\ 2p&\+\&q&\\& \=\ &b \\ &\\&2q&\-\&4r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\2&1&0&b\\0&2&-4&c\end{bmatrix}$$ dengan bentuk eselon baris $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\0&1&-2&\frac{-2a+b}{3}\\0&0&0&\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}\end{bmatrix}$$ Karena $\textbf{w} \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, maka sistem persamaan di atas harus konsisten. Dan ini terjadi, jika $$\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}=0 \quad \Longrightarrow \quad -4a+2b-3c=0$$ Jadi, syarat yang harus dipenuhi oleh $a,b,c$ adalah $-4a+2b-3c=0$.Nomor 12Misalkan dan Gunakan Teorema 1, untuk menunjukkan bahwa .PembahasanPertama, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$. Hal ini dapat dilakukan dengan inspeksi, karena komponen pertama dari $\textbf{w}_2$ adalah $0$. $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= \textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_2 &= 2\textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_3 &= -\textbf{w}_1 \end{aligned}$$ Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w}_1 &= -\textbf{u}_3 \\ \textbf{w}_2 &= \textbf{u}_1+\textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Berdasarkan Teorema 1, dapat disimpulkan bahwa $$\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}=\text{span}\{\textbf{w}_1,\textbf{w}_2\}$$ 13Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{q}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{q} &= a+bx+cx^2 \\ &= a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2 \\ &= a \textbf{p}_1+b \textbf{p}_2 + c \textbf{p}_3 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.Nomor 14Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_1x^2+1 + k_2x^2+x + k_3x+1 \\ &= k_1+k_3 + k_2+k_3x + k_1+k_2x^2 \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\\&&\+\&k_3 \=\ &a \\ &\\&k_2&\+\&k_3 \=\ &b \\ k_1&\+\&k_2&\\& \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=-2\neq0$ periksa!, maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $a+bx+cx^2 \in P_2$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.Nomor 15Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3+k_4\textbf{p}_4$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_11-x+2x^2 + k_23+x + k_35-x+4x^2 + k_4-2-2x+2x^2 \\ &= k_1+3k_2+5k_3-2k_4 + -k_1+k_2-k_3-2k_4x + 2k_1+4k_3+2k_4x^2 \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\+\&3k_2&\+\&5k_3&\-\&2k_4 \=\ &a \\ -k_1&\+\&k_2&\-\&k_3&\-\&2k_4 \=\ &b \\ 2k_1&\\&&\+\&4k_3&\+\&2k_4 \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ -1&1&-1&-2&b\\ 2&0&4&2&c \end{bmatrix}$$ dengan bentuk eselon baris $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ 0&1&1&-1&\frac{a+b}{4}\\ 0&0&0&0&-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c \end{bmatrix}$$ Sistem persamaan ini konsisten, hanya jika $$-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c=0$$ Dengan demikian, himpunan $S$ tidak merentang $P_2$.Nomor 16Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $A \in M_{2\times 2}\mathbb{R}$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $a_1,a_2,a_3,a_4 \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}a_1&0\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&a_2\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\a_3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\0&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}+a_3\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}+a_4\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}\mathbb{R}$.Nomor 17Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $P \in M_{2 \times 2}\mathbb{R}$, dengan $$P=\begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $p_1,p_2,p_3,p_4 \in \mathbb{R}$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $P=k_1A+k_2B+k_3C+k_4D$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix} + k_3\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} + k_4\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}k_1+k_2+k_3+k_4&k_2+k_3\\k_3+k_4&k_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\+\&k_2&\+\&k_3&\-\&k_4 \=\ &p_1 \\ &\\&k_2&\+\&k_3&\\& \=\ &p_2 \\ &\\&&\\&k_3&\+\&k_4 \=\ &p_3 \\ &\\&&\\&&\\&k_4 \=\ &p_4 \end{alignat*}\right.$$ Melalui substitusi balik, diperoleh solusi $$\begin{aligned} k_1 &= p_1-p_2-p_4 \\ k_2 &= p_2-p_3+p_4 \\ k_3 &= p_3-p_4 \\ k_4 &= p_4 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}\mathbb{R}$.
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan satu dan arahnya sama dengan vektornya. Cara mencari vektor satuan diperoleh melalui koordinat vektor dan panjang vektor tersebut. Simbol vektor satuan dituliskan dengan tanda seperti topi yang disebut caret ^ di atas huruf. Bahasan vektor satuan cukup penting untuk dipahami karena merupakan dasar untuk mempelajari bahasan vektor selanjutnya seperti dot products vector, cross products vector, dan lain sebagainya. Vektor sendiri merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Arah vektor dapat ke kanan, kiri, bawah, atas, atau dinyatakan dengan sudut Ξ±, di mana Ξ± adalah sudut terkecil yang dibentuk vektor dengan sumbu x. Cara menuliskan vektor dapat dituliskan melalui panjang dan arah berupa besar sudutnya. Contohnya sebuah vektor dengan panjang 3 satuan membentuk sudut 30o. Sebuah vektor A yang terletak pada dimensi dua atau bidang xy dengan sudut Ξ± dapat diproyeksikan menjadi komponen Ax dan Ay. Komponen vektor A pada sumbu x adalah Ax dan komponen vektor pada sumbu y adalah Ay. Panjang vektor Ax = A cos Ξ± dan panjang vektor Ay = A sin Ξ±. Penjumlahan vektor Ax dan Ay merupakan vektor A, sehingga berlaku persamaan A = Axi + Ayj. Bentuk vektor yang dinyatakan seperti pada komponen vektor A memuat vektor satuan i β j β k. Baca Juga Cara Menghitung Panjang Vektor AB Apa itu vektor satuan i β j β k? Bagaimana cara mencari vektor satuan? Sobat idschool dapat mencari lebih lanjut melalui bahasan di bawah. Table of Contents Hubungan Antara Vektor Satuan dan Panjang Vektor Contoh Soal dan Pembahasan Contoh 1 β Soal Penulisan Vektor Satuan Contoh 2 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Contoh 3 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Hubungan Antara Vektor Satuan dan Panjang Vektor Pada bagian awal telah disinggung bahwa vektor satuan adalah vektor dengan arah sama yang memiliki panjang satu satuan. Misalkan sebuah vektor v memiliki nilai tiga satuan ke kanan, maka vektor satuan v adalah vektor dengan arah yang sama dengan vektor v yaitu ke kanan tetapi miliki panjang satu. Vektor v akan bernilai satu ketika dikalikan dengan skalar k = 1/3, sehingga vektor satuan v sama dengan 1/3 vektor v. Secara umum, agar suatu vektor memiliki panjang satu satuan maka perlu dikalikan dengan sebuah skalar yang nilainya satu per panjang vektor tersebut. Kesimpulannya, terdapat hubungan antara vektor satuan dan panjang vektor yang dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan. Hubungan tersebut dinyatakan melalui persamaan yang dapat digunakan sebagai cara mencari vektor satuan seperti berikut. Contoh bagaimana cara mencari vektor satuan dapat dilihat pada penyelesaian contoh soal berikut. Soal Tentukan vektor satuan dari vektor p = 4, β3, 0! Penyelesaian Komponen vektor dalam koordinat disepakati dengan penyimbolan vektor satuan untuk sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Vektor satuan pada sumbu x positif yaitu satu satuan ke kanan disimbolkan dengan huruf i. Vektor satuan pada sumbu y positif atau satu satuan ke atas disimbolkan dengan huruf j. Sedangkan vektor satuan yang searah dengan sumbu z positif disimbolkan dengan huruf k. Komponen sebuah vektor dalam sebuah kesepakatan akan bernilai positif jika komponen tersebut berada pada sumbu x, sumbu y, dan sumbu z positif. Sebaliknya, komponen sebuah vektor bernilai negatif jika komponen tersebut berada pada sumbu x, y, dan z negatif. Berdasarkan kesepakatan tersebut, maka vektor v yang dinyatakan dalam persamaan vektor v = 3i β 4j dapat secara mudah dimengerti. Vektor v = 3i β 4j sama dengan vektor dengan arah tiga satuan ke kanan sejajar sumbu x dilanjutkan empat ke bawah sejajar sumbu y. Dengan demikian, vektor satuan akan memudahkan dalam menjelaskan arah dan mengidentifikasi komponen vektor dalam bahasan vektor. Baca Juga Cara Menghitung Resultan Vektor 3 Arah Secara Analisis Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan sebagai tolak ukur keberhasilan memahami bahasan cara mencari vektor satuan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan cara mencari vektor satuan. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut untuk mengetahui keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih! Contoh 1 β Soal Penulisan Vektor Satuan Perhatikan gambar berikut! Vektor satuan pada vektor p dapat dituliskan ke dalam persamaan β¦.A. 3i + 5jB. 3i + 7jC. 5i + 7jD. 7i + 3jE. 7i + 7j Pembahasan Vektor p merupakan vektor dengan arah tiga satuan ke kanan dan 7 satuan ke atas. Sehingga, vektor satuan pada vektor v dapat dituliskan ke dalam persamaan p = 3i + 7j. Jawaban B Contoh 2 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Pembahasan Mencari vektor satuan v Jawaban B Contoh 3 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Diketahui koordinat titik P 2, β1, 3 dan Q 3, β3, 5. Vektor satuan yang searah degab vektor PQ adalah β¦.A. i + 2j + 2kB. i β 2j + 2kC. 1/3i + 2/3j + 2/3kD. 1/3i β 2/3j + 2/3 kE. β1/3i + 2/3j β 2/3 k Pembahasan Mencari komponen vektor PQ Vektor PQ = Q β P= 3, β3, 5 β 2, β1, 3= 3 β 2, β3 ββ1, 5 β 3= 1, β3 +1, 2= 1, β2, 2 Mencari vektor satuan yang searah dengan vektor PQ Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor PQ adalah 1/3i β 2/3j + 2/3 k. Jawaban D Demikianlah tadi ulasan materi cara mencari vektor satuan yang meliputi apa itu vektor satuan dan apa pentingnya memahami bahasan vektor satuan pada bahasan vektor selanjutnya. Terimakasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat! Baca Juga Perkalian Silang Vektor Cross Product Vector a x b
ο»ΏHai Quipperian, pernahkah kamu bermain tarik tambang? Permainan tarik tambang akan dimenangkan oleh tim yang memiliki kekuatan atau gaya total lebih besar. Jika gaya tarik ke kanan lebih besar daripada tarikan ke kiri, sudah pasti tim kanan akan memenangkannya. Peristiwa tarik tambang itu merupakan salah satu contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari. Saat membahas vektor, ada beberapa rumus yang harus kamu pelajari. Lalu, apa saja rumus vektor itu? Daripada penasaran, yuk simak selengkapnya! Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Operasi vektor tentu berbeda dengan operasi skalar. Pada operasi skalar, kamu bisa mengoperasikan langsung suatu bilangan, misalnya 2 + 3 = 5. Namun, tidak demikian dengan vektor. Operasi vektor harus mengacu pada arah besarannya. Jika ke kanan bertanda positif, maka ke kiri harus bertanda negatif. Prinsip dasar inilah yang digunakan pada peristiwa tarik tambang. Ruang Lingkup Vektor Berikut ini merupakan ruang lingkup vektor. Vektor Negatif Vektor negatif -P adalah vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor P, tapi arahnya berlawanan. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang tidak memiliki panjang dengan arah sembarang. Di dalam penulisannya, vektor nol biasa dinyatakan sebagai matriks nol seperti berikut. Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang ujungnya berada di suatu titik koordinat tertentu dengan pangkal berada di titik koordinat 0, 0. Vektor posisi biasanya memuat vektor satuan i dan j. Perhatikan contoh berikut. Jika ditarik dari titik pusat ke titik P, maka vektor posisinya disebut OP. Panjang vektor OP bisa dicari dengan teorema Phytagoras, seperti berikut. Lalu, bagaimana jika titik pangkalnya tidak berada di titik 0, 0? Perhatikan gambar berikut. Cara menentukan panjang vektor PQ, gunakan rumus vektor berikut. Panjang atau Nilai Vektor Panjang atau nilai vektor adalah nilai vektor tanpa arahnya. Panjang vektor selalu bernilai positif. Untuk itulah, penulisan panjang berada di dalam tanda mutlak β¦. Rumus panjang vektor sama dengan rumus Phytagoras, yaitu sebagai berikut. β jika pangkalnya berada di titik O 0, 0. β jika pangkalnya berada di titik P x1, y1. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang memiliki nilai 1 satuan. Cara menentukan vektor satuan adalah membagi vektor tersebut dengan panjang vektornya. Perhatikan rumus vektor berikut. Vektor pada Bangun Dua Dimensi Vektor pada bangun dua dimensi memiliki dua komponen, yaitu komponen vektor searah sumbu-x dan komponen vektor searah sumbu-y. Penulisan dimensi dua vektor adalah sebagai berikut. Operasi Vektor Jenis-jenis operasi vektor sama seperti operasi bilangan pada umumnya. Perbedaannya terletak pada cara mengoperasikannya karena melibatkan arah. Adapun bentuk-bentuk operasi vektor adalah sebagai berikut. Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua buah vektor mengacu pada dua aturan, yaitu aturan segitiga dan jajargenjang seperti berikut. Penjumlahan vektor dengan aturan segitiga Menurut aturan segitiga, penjumlahan dua buah vektor dilakukan dengan meletakkan pangkal salah satu vektor pada ujung vektor lainnya. Hasil penjumlahannya merupakan jarak antara pangkal salah satu vektor dan ujung vektor lainnya. Perhatikan contoh berikut. Penjumlahan vektor dengan aturan jajargenjang Menurut aturan jajargenjang dua buah vektor bisa dijumlahkan dengan meletakkan ujung pangkal kedua vektor pada titik yang sama seperti berikut. Untuk P=x1, y1 dan Q=x2, y2, rumus penjumlahan dua vektornya bisa dinyatakan sebagai berikut. Selisih Vektor Selisih vektor adalah operasi yang digunakan pada dua vektor yang memiliki arah atau tanda yang saling berlawanan. Rumus vektor selisih dinyatakan sebagai berikut. Perhatikan contoh ilustrasi berikut. Dari ilustrasi di atas, coba kamu perhatikan arah vektor Q. Semula arah vektor Q ke kanan. Oleh karena berlawanan, maka arah arah vektor -Q ke kiri. Perkalian Vektor Rumus perkalian vektor itu bermacam-macam, tergantung dari jenis perkaliannya. Adapun jenis-jenis perkalian vektor itu adalah sebagai berikut. Perkalian vektor dengan skalar Perkalian vektor dengan skalar artinya, skalar menjadi pengali dari vektor yang dimaksud. Misalnya, vektor P dikali skalar m, maka vektor hasil kalinya memiliki panjang m kali panjang vektor P. Untuk arahnya, bergantung sepenuhnya pada m. Jika m > 0, hasil kalinya searah dengan vektor P, jika m = 0 akan dihasilkan vektor nol, jika m < 0, hasil kalinya berlawanan dengan arah vektor P. Rumus perkalian vektor dengan skalar adalah sebagai berikut. Perhatikan contoh berikut. Diketahui . Tentukan nilai dari 2 β P! Pembahasan Jadi, nilai 2 β P = 4 -10 . Perkalian vektor dengan sudut tidak diketahui Pada prinsipnya, rumus perkalian titik antara dua buah vektor memiliki cara yang sama seperti perkalian pada umumnya. Rumus perkalian antara vektor P=x1, y1 dan vektor Q=x2, y2 adalah sebagai berikut. Perkalian vektor dengan sudut diketahui Jika posisi dua buah vektor membentuk sudut tertentu, maka rumus perkaliannya adalah sebagai berikut. Dengan Ξ± = sudut yang dibentuk oleh vektor P dan Q Untuk mencari nilai cos Ξ±, gunakan rumus berikut. Resultan Vektor Resultan vektor adalah panjang dari suatu vektor. Perhatikan gambar berikut. Untuk mencari resultan vektor atau panjang OR, gunakan rumus berikut. Sementara itu, arah vektor resultannya bisa ditentukan dengan rumus berikut. Contoh Soal Vektor Setelah kamu tahu apa saja rumus-rumus vektor itu, yuk asah kemampuanmu dengan contoh soal berikut. Contoh Soal 1 Dua buah vektor berada pada posisi seperti berikut. Tentukan hasil kali antara A dan B! Pembahasan Oleh karena kedua vektor membentuk sudut, kamu bisa menentukan hasil kalinya dengan rumus berikut. Mula-mula, tentukan dahulu A dan B. Lalu, substitusikan pada persamaan tersebut. Jadi, hasil kali antara A dan B adalah 9,87. Contoh Soal 2 Diketahui dua vektor berikut. Berapakah nilai cosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor? Pembahasan Langkah pertama, kamu harus menentukan panjang vektor p dan q. Selanjutnya, gunakan persamaan berikut. Jadi, nilai cosinus yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 865. Contoh Soal 3 Sebuah batu besar berada di tengah lapangan. Untuk memindahkan batu tersebut, dibutuhkan 2 truk penarik dengan posisi seperti berikut. Berapakah resultan gaya yang dihasilkan oleh kedua truk penarik? Pembahasan Diketahui FA = 120 N FB = 150 N Ξ± = 30o Ditanya FR =β¦? Jawab Untuk menentukan resultan gaya kedua truk, gunakan persamaan berikut. Jadi, resultan gaya tarik kedua truk adalah 234,30 N. Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bermanfaat, ya. Untuk mendapatkan materi lengkapnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Salam Quipper!
tentukan vektor yang sama dari vektor vektor berikut
